反復試行の確率（はんぷくしこうのかくりつ）○×の並びを並べて、nCr が付く理由を自分の目で確かめる

1まず予想しよう：どの並びが起こりやすい？

シミュレーターを動かす前に、直感で選んでください。正解は、操作したあとに開いて確かめます。

3観察のポイント：何が変わって、何が変わらない？

1. やってみる n = 5、p = 1/3、r = 2 の「並べ方を見る」で、「次の並びへ」を何度か押す。

   見るところ 掛け算の順番は変わりますが、積はいつも 8/243 です。並びは全部で 10 通りあり、合計は 10 × 8/243 = 80/243 になります。

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2. やってみる そのまま p を 1/2 に変える。

   見るところ 並び 1 つの確率は 1/32 に変わりますが、並びの一覧は 10 通りのままです。並び方の数は n と r だけで決まり、p によりません。合計は 10/32 = 5/16 = 0.3125 です。

   p = 1/2 にする

3. やってみる n = 5、r = 2、p = 1/3 で「最後の回を ○ に決める」を入れる。

   見るところ 10 通りが、最後が ○ の 4 通りと、最後が × の 6 通りに分かれます。数えるのは 4 通りで、確率は 4 × 8/243 = 32/243 ≈ 0.1317 です。自由に選べるのは前の 4 マスだけなので、₅C₂ ではなく ₄C₁ になります。

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4. やってみる 「分布を見る」で n = 5、p = 1/3、「r 回以上」、r = 2 にする。

   見るところ 斜線の棒は 4 本、点の棒は 2 本です。4 本足しても、1 から 2 本を引いても 131/243 ≈ 0.5391 で同じです。本数が少ないほうを計算すれば済みます。

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5. やってみる p = 1/6 で「少なくとも 1 回」を選び、n を増やす。

   見るところ 下の折れ線が 1 に近づきますが、1 にはなりません。n = 4 で初めて 1/2 を超え（671/1296 ≈ 0.5177）、n = 6 でも約 0.6651、n = 10 で約 0.8385 です。

   n = 10 にする

6. やってみる p を 1/3 に戻し、「ちょうど r 回」にして、n を 5、12、30 と変える。

   見るところ いちばん高い棒（▼）は、n = 5 で r = 1 と 2 の 2 本、n = 12 で r = 4、n = 30 で r = 10 です。山は右へ動きながら、低く広がっていきます。

   n = 30 にする

7. やってみる 「実際に試す」で n = 5、p = 1/3、r = 2、種 2026 で 1000 回試す。

   見るところ 1000 回のうち r = 2 は 335 回で、相対度数 0.3350 は理論値（約 0.3292）の近くです。さらに回数を増やすと、棒とひし形のずれは小さくなっていく傾向があります。乱数なので、ずれは毎回同じようには減りません。

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4式を書こう：反復試行の確率の公式

2 つの試行で、一方の結果が他方の結果の起こりやすさに影響しないとき、これらの試行は独立であるといいます。独立な試行では、それぞれで決まった結果が起こる確率は積で求められます。同じ条件の独立な試行をくり返すことを反復試行といいます。

1 回で A が起こる確率を p とします。n 回の反復試行で、A がちょうど r 回起こる確率は、次の式です。

公式の意味：位置の選び方 × 起こる確率 × 起こらない確率

例で確かめます。当たる確率が 1/3 のくじを、戻しながら 5 回引いて、ちょうど 2 回当たる確率です。

1. 並びを 1 つ決める。○○××× の確率は、試行が独立なので積になります。
   $$\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}$$ $$= \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{3} = \frac{8}{243}$$
2. ほかの並びも同じ確率。×○××○ でも、掛ける分数は同じで、順番だけが違います。
3. 並びの数を掛ける。並びどうしは同時に起こらない（排反）ので、確率は足せます。同じ値を ₅C₂ = 10 個足すので、掛け算になります。
   $${}_{5}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}$$ $$= 10\times\frac{8}{243} = \frac{80}{243}$$

確かめ方　指数の和は必ず r + (n − r) = n です。また、r = 0 から n までの確率を全部足すと 1 になります。この例では 32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243 で、合計は 243/243 = 1 です。

この例の棒グラフを見る

「ちょうど」「以上」「少なくとも」の言い換えと余事象

問題文の言葉を、「どの棒を足すのか」に読み替えます。n = 5 で書くと、次のようになります。

余事象を使うときの目安

「A が起こる」と「A が起こらない」の確率の和は 1 です。だから、足す棒の本数が多いときは、残りの棒を 1 から引くほうが楽です。特に「少なくとも 1 回」は、残りが「1 回も起こらない」の 1 本だけです。

例：n = 5、p = 1/3 なら、1 − (2/3)⁵ = 1 − 32/243 = 211/243 ≈ 0.8683 です。「少なくとも 2 回」のときは、残りが r = 0 と r = 1 の 2 本になります。r = 1 の分を忘れやすいので注意しましょう。

「少なくとも 1 回」と「ちょうど 1 回」は別のことです。次の練習で、言葉と棒の対応を確かめましょう。

言い換えの練習：どの棒を足す？

5 回の試行です。言葉に合う回数のボタンをすべて押して、判定してください。

最後の回が決まっている問題（n 回目に初めて、n 回目に r 度目）

「n 回目に初めて」「n 回目に 2 度目」は、最後の回が ○ に決まっています。自由に並べられるのは前の n − 1 回だけなので、そこにだけ組合せを使います。

前の n − 1 回で r − 1 回起こり、最後の 1 回で起こる、という 2 つの積です。p = 1/3 で計算します。

4 回目に初めて起こる確率

並びは ×××○ の 1 通りだけです。並び方の数は ₃C₀ = 1 なので、組合せが消えて見えます。

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5 回目に 2 度目が起こる確率

前の 4 回で 1 回起こる並びが ₄C₁ = 4 通りあり、どれも確率は 8/243 です。

「5 回中ちょうど 2 回」の 80/243 より小さくなります。80/243 の 10 通りのうち、最後が ○ の 4 通りだけを数えるからです。

この例を動かす

見分け方　「n 回のうちに」なら最後は決まっていません。「n 回目に」「n 回目で終わる」「先に勝つ」なら、最後の回が決まっています。

最も起こりやすい回数：となりの棒と比べる

いちばん高い棒を探すには、となりの棒との比を見ます。公式を覚えなくても、次の式を自分で作れば分かります。

この比が 1 より大きければ右の棒のほうが高く、1 より小さければ右の棒のほうが低く、ちょうど 1 なら同じ高さです。r が増えると比は小さくなるので、棒は上がってから下がる、山の形になります（はじめから下がることも、最後まで上がることもあります）。

n = 12、p = 1/3 で計算します。p/(1 − p) = 1/2 です。

いちばん高いのは r = 4 です。n = 5、p = 1/3 では P(2)/P(1) = 1 なので、r = 1 と r = 2 が同じ高さになります。

比が 1 より大きいという不等式を r について整理すると、r + 1 < (n + 1)p になります。n = 12、p = 1/3 では (n + 1)p = 13/3 なので、r + 1 が 4 までは上がり続けます。これは問題ごとに導けるので、覚える必要はありません。

この例を動かす

独立でないとき：くじを戻さないと公式は使えない

当たり 4 本を含む 12 本のくじを 3 回引きます。1 回目に当たる確率は、どちらも 1/3 です。違いは 2 回目からです。

戻さないときは、前の結果で次の確率が変わるので、p を掛け続ける公式は使えません。この場合は、12 本から 3 本を選ぶ組合せで数えます（₄C₁ × ₈C₂ ÷ ₁₂C₃ = 112/220 = 28/55）。問題文の「戻す」「戻さない」「元に戻して」を必ず確かめましょう。

5確認問題

どの問題も、各回の結果は独立とします。答えは約分した分数で求めましょう。解説を開く前に、紙に式を書いてみてください。

違いと用語の整理

独立と排反は別のもの　独立は「積」を使ってよい理由、排反は「和」を使ってよい理由です。反復試行の公式では、1 つの並びの確率を積で出すときに独立を使い、並びどうしを足すときに排反を使っています。

よくある質問と、計算の間違いの例

Q. 反復試行の公式で、なぜ nCr を掛けるのですか？

「ちょうど r 回」にあたる並びが _nC_r 通りあり、どの並びも確率が同じだからです。同じ値を _nC_r 個足すことを、掛け算で書いています。

Q. 「ちょうど r 回」と「r 回以上」はどう違いますか？

「ちょうど」は棒 1 本、「以上」は r から n までの棒の合計です。シミュレーターの「分布を見る」で範囲を切り替えると、塗られる棒が変わります。

Q. 「少なくとも 1 回」はなぜ余事象で求めるのですか？

直接なら r = 1 から n までの n 本を足しますが、余事象なら r = 0 の 1 本を 1 から引くだけで済むからです。どちらで計算しても同じ値になります。

Q. 「n 回目に初めて」の問題で nCr を掛けないのはなぜですか？

並びが ×…×○ の 1 通りに決まるからです。掛ける数は _n−1C₀ = 1 で、書かなくても同じです。「n 回目に 2 度目」のように前の回に自由があるときは、_n−1C₁ が付きます。

Q. くじを引いたあと戻さないとき、反復試行の公式は使えますか？

使えません。前の結果で次の確率が変わり、独立でないからです。ただし、全体の本数がとても多いくじなら、確率の変化は小さくなります。

Q. 独立と排反は何が違いますか？

独立は「影響しない」、排反は「同時に起こらない」です。確率が 0 でない 2 つの事柄が排反なら、一方が起こるともう一方は起こらなくなるので、独立ではありません。

Q. 最も起こりやすい回数は、どう求めますか？

となりの棒との比 P(r + 1)/P(r) が 1 を超えるかどうかを調べます。n × p の近くになることが多いですが、いちばん高い棒が 2 本になることもあります。

Q. 反復試行の確率と二項分布の関係は？

r ごとの確率の並びを、数学Bでは二項分布と呼びます。このページの棒グラフは二項分布のグラフです。平均や分散は数学Bで学びます。

計算の間違いの例

• nCr を忘れる（問1）：(2/5)³(3/5) = 24/625 で止めるのは、1 つの並びの確率です。4 通りあるので 96/625 です。
• 指数を間違える（問1）：(3/5) の指数は n − r = 1 です。指数の和が n になるかを確かめましょう。
• 「以上」で端を落とす（問2）：「3 粒以上」から 4 粒の場合を落とすと 108/256 になります。全部発芽する 81/256 も足します。
• 余事象の棒が足りない（問4）：「2 個以上」の余事象を「0 個」だけにすると、1 − 531441/1000000 = 468559/1000000 になり、大きすぎます。「1 個」の分も引きます。
• 最後の回の組合せ（問6）：₅C₃ を使うと、最後が × の並びまで数えてしまいます。自由に選べるのは前の 4 本なので、₄C₂ です。
• 先取の問題（問7）：5 試合目まで全部行うとして ₅C₃ だけで計算すると、「ちょうど 3 勝」の確率になり、A が 4 勝や 5 勝する場合を落とします。