水平投射（すいへいとうしゃ）落下時間・飛距離を、自由落下と並べて理解する

1まず予想しよう

シミュレーターを動かす前に、直感で答えを選んでください。正解は、操作したあとに開いて確かめます。

3観察のポイント

上から順に試して、気づいたことに印をつけていきましょう（印はこの画面の中だけで使い、保存はされません）。

1. 高さはいつも、落としたボールと同じ

   やってみる再生して、青いボールと白丸を見る。○と白丸をつなぐ横の点線も見る。

   見るところ2 つのボールの高さはずっと同じで、同時に着地します。鉛直方向の運動は自由落下と同じです。

2. 横の位置はいつも、重力がないボールと同じ

   やってみる青いボールと四角を見る。○の横の間隔も見る。

   見るところ2 つの横の位置はずっと同じで、○の横の間隔はどこでも等しくなります。水平方向は等速直線運動です。

3. 初速度を変えても、落下時間は同じ

   やってみる高さ 19.6 m のまま、初速度 10 m/s で「代表値」の落下時間と着地直前の速さを見てから「軌跡を残す」を押す。20 m/s に変えて「着地へ」を押し、もう一度「代表値」を見る。

   見るところ落下時間はどちらも 2.00 s で、到達距離は 20 m から 40 m へ 2 倍になります。一方、着地直前の速さは約 22 m/s から約 28 m/s で、2 倍にはなりません。

4. 高さを 4 倍にすると、落下時間は 2 倍

   やってみる初速度はそのままで、高さ 4.9 m と 19.6 m のそれぞれで「着地へ」を押す。

   見るところ落下時間は 1.00 s と 2.00 s です。時間は高さの平方根（√h）に比例するので、高さが 4 倍でも時間は 2 倍にしかなりません。

5. 速度の向きは、だんだん下を向く

   やってみる「+0.1 s」で少しずつ進めて、3 本の矢印を見る。

   見るところ2 つの成分のうち、v_x の矢印の長さは変わらず、v_y の矢印だけが長くなります。だから、2 つを合わせた v の向きはだんだん下を向きます。

6. 初速度 0 にすると、自由落下になる

   やってみる初速度を 0 m/s にして再生する。

   見るところ青いボールは真下に落ちて、白丸と重なります。自由落下は、水平投射の初速度が 0 の場合といえます。

4式を書こう：水平投射の公式

手順① 方向ごとに「どんな運動か」を決める

投げたあとのボールにはたらく力は、鉛直下向きの重力だけです。水平方向には力がはたらきません。だから、2 つの方向を別々に考えます。

上向きを正にしたので、下へ落ちると y も v_y もマイナスになります。鉛直下向きを正にとる説明では、落ちた距離を y として y = ½gt²、v_y = gt、地面は y = h と書きます。符号が変わるだけで、求まる時間や距離は同じです。問題を解くときは、最初に「どちらを正にしたか」を決めましょう。

手順② 落下時間と水平到達距離（飛距離）を求める

落下時間 → 条件は「y = −h（地面に着く）」

$$-h = -\frac{1}{2}g T^2 \;\Rightarrow\; T = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

式に v₀ が入っていません。落下時間は高さだけで決まります。

水平到達距離（飛距離） → 落下時間のあいだ、等速で進む

$$R = v_0 T = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

着地直前の速さと向き → 2 つの成分を合わせる

$$v_x = v_0$$ $$v_y = -g T = -\sqrt{2gh}$$ $$v = \sqrt{v_x^{\,2} + v_y^{\,2}} = \sqrt{v_0^{\,2} + 2gh}$$ $$\tan\phi = \frac{|v_y|}{v_x} = \frac{\sqrt{2gh}}{v_0}$$

φ は、速度の向きが水平から下へ何度傾いているかを表します（v₀ > 0 の場合。v₀ = 0 なら真下です）。

軌道の式：なぜ放物線になるのか

軌道の式は、時刻 t を含まない、x と y の関係式です（v₀ > 0 の場合）。x = v₀t から t = x ÷ v₀ として、y の式に入れて t を消します。

y が x の 2 次関数なので、軌道は放物線です。x² の係数がマイナスなので、上に凸の放物線になり、投げた点（原点）が頂点です。

公式の一覧

公式を丸暗記しなくても大丈夫です。「水平は等速、鉛直は自由落下と同じ」と「地面は y = −h」の 2 つから、全部作れます。問題を解く順番は、高さから時間を求め、その時間から水平の距離を求める、が基本です。時間 t が、水平と鉛直をつなぎます。

自由落下・斜方投射との違い

どの運動も、投げたあとにはたらく力は重力だけです。違うのは初速度だけで、考え方は「水平方向と鉛直方向に分ける」で共通です。

表の「高さ」は、投げた点と着地点の高低差です。同じ高さに着地する斜方投射では、着地までの時間は 2v₀sinθ ÷ g です。この場合は、斜方投射のページで動かして確かめられます。

5確認問題

g = 9.8 m/s² として計算します。答えは有効数字 2 桁を目安にしてください。解説を開く前に、紙に式を書いてみましょう。

問1〜問4 の条件：高さ 19.6 m のところから、初速度 15 m/s でボールを水平に投げた。この条件をシミュレーターにセット

水平投射でよくある質問

Q. なぜ水平に投げても、真下に落としたボールと同時に着地するのですか？

鉛直方向の運動が同じだからです。どちらも、はじめの鉛直方向の速度は 0 で、鉛直方向には重力だけがはたらきます。水平方向の速度は、鉛直方向の運動に影響しません（空気抵抗を無視した場合）。

Q. 速く投げたほうが、長く飛んでいるのではないですか？

遠くまで飛ぶので長く飛んでいるように見えますが、落下時間は同じです。速く投げたぶん、同じ時間でより遠くへ進むだけです。「軌跡を残す」で比べてみましょう。

Q. 鉛直下向きを正にしても、いいのですか？

はい。下向きを正にとると y = ½gt² と書けます。符号が変わるだけで、求まる時間や距離は同じです。大事なのは、最初に決めた向きを最後まで変えないことです。このページでは、斜方投射のページとそろえて上向きを正にしています。

Q. 水平投射の公式は、どれを覚えればいいですか？どう使い分けますか？

x = v₀t、y = −½gt²、v_x = v₀、v_y = −gt の 4 本で十分です。落下時間や到達距離の式は、この 4 本に「地面は y = −h」の条件を入れれば作れます。求めたい量が水平方向なら x の式、鉛直方向なら y の式を選び、時間 t でつなぎます。

Q. 初速度を 2 倍にすると、着地直前の速さも 2 倍になりますか？

なりません。着地直前の速さは √(v₀² + 2gh) で、鉛直方向の速さは初速度で変わらないからです。たとえば高さ 19.6 m で初速度を 15 m/s から 30 m/s にすると、着地直前の速さは約 25 m/s から約 36 m/s で、2 倍にはなりません。

Q. 水平方向の速さは、なぜ途中で遅くならないのですか？

水平方向には力がはたらかないので、加速度の水平成分は 0 で、速度の水平成分は変わりません（水平方向だけを見ると、慣性の法則と同じ考え方です）。現実には空気抵抗で少しずつ遅くなりますが、このページではそれを無視しています。

Q. 着地直前の速さを、力学的エネルギー保存で求めてもいいですか？

はい。空気抵抗を無視し、地面を重力による位置エネルギーの基準にすると、½mv₀² + mgh = ½mv² から v = √(v₀² + 2gh) となり、成分で求めた結果と一致します。ただし、エネルギーからは速度の向きは分かりません。向きが必要なときは、成分で考えます。

Q. 斜め下に投げるのは、水平投射ですか？

いいえ。水平投射は真横に投げる場合です。斜め下に投げると、はじめから下向きの速度があるので、同じ高さなら落下時間は短くなります。ただし、水平と鉛直に分けて考える方法は同じです。