二次関数の最大・最小（にじかんすうのさいだい・さいしょう）放物線と定義域を動かして、最大と最小の印の移り方を見る

1まず予想しよう：頂点はいつも答えになる？

シミュレーターを動かす前に、直感で答えを選んでください。正解は、操作したあとに開いて確かめます。

3観察のポイント：▲ と ▼ はどこへ移る？

上から順に試して、気づいたことに印をつけていきましょう（印はこの画面の中だけで使い、保存はされません）。

1. 頂点が定義域の外なら、頂点は答えにならない

   やってみるy = (x − 1)² + 2（2 ≦ x ≦ 4）を開き、軸 p を動かして定義域に入れたり出したりする。 この状態にする

   見るところp = 1 では頂点が白い四角で、最小は左端 x = 2 の 3 です。定義域の中の太い線だけを見れば、右上がりの線の左端がいちばん低いと分かります。

2. 軸を変えずに x² の係数の大きさだけ変えても、最大・最小をとる x は変わらない

   やってみる同じ状態で、係数 c を 1 から 2 に変える。 c = 2 にする

   見るところ値は最小 3 → 4、最大 11 → 20 と変わりますが、最小は x = 2、最大は x = 4 のままです。場所を決めるのは、c の符号と軸の位置です。

3. 軸が動くと、最小値をとる場所は 3 通りに変わる

   やってみる「軸が動く」で a を −1 から 3 まで動かす。 a = −1 にする

   見るところa < 0 では左端、0 ≦ a ≦ 2 では頂点、a > 2 では右端に ▼ がつきます。a の帯の「最小」の行で、色のついた区画が移ります。

4. 最大値をとる場所は、定義域の真ん中で切り替わる

   やってみるa を 0.9 → 1 → 1.1 と動かす。 a = 0.9 にする

   見るところa = 0.9 では右端で最大（3.4）、a = 1 では両端で最大（3）、a = 1.1 では左端で最大（3）です。下の帯の 2 本の距離を比べると、長いほうの端に ▲ がつきます。

5. 軸と端が重なる a では、▼ が頂点でもあり端でもある

   やってみる「境目へ移動」のボタンで a = 2 を押し、軸と右端が重なるのを見る。 a = 2 にする

   見るところ頂点と右端が同じ点なので、最小値は −a² + 3 でも −4a + 7 でも −1 です。下の a のグラフでも、線は切れていません。最大値の線は a = 1 で折れますが、最小値の線は a = 0、2 で式が変わっても折れずになめらかにつながります。

6. 上に凸では、3 通りに分かれるのが最大のほうになる

   やってみるy = −x² + 2ax + 3 で a を動かす。 a = 1 にする

   見るところ今度は最大値が 3 通りで、最小値が真ん中で分かれます。a = 1 では、頂点 x = 1 で最大 4、両端 x = 0、2 で最小 3 です。

7. 定義域が動くときは、切り替わりの順番が逆になる

   やってみる「定義域が動く」で a を増やす。 a = −1 にする

   見るところ放物線は動かず、定義域が右へ進みます。軸から見ると定義域は左から右へ通り過ぎるので、最小をとる場所は右端 → 頂点 → 左端の順です。軸が動くとき（左端 → 頂点 → 右端）と逆ですが、見ているものは「軸と定義域の位置関係」で同じです。

8. 右端だけ動くと、最大値は一度そのままになってから入れ替わる

   やってみる「右端が動く」で a を 1 から 5 まで動かす。 a = 1 にする

   見るところy = x² − 4x + 5（0 ≦ x ≦ a）の最大値は、0 < a < 4 では左端の 5 のままです。a = 4 で右端も 5 になって 2 か所になり、a > 4 では右端に移ります。定義域の真ん中 a ÷ 2 が軸 x = 2 と重なるのが a = 4 です。

9. 端を含まないと、最大値や最小値がなくなることがある

   やってみるy = x²（−1 ≦ x ≦ 2）で「右端を含まない」に印をつけたり外したりする。 この状態にする

   見るところ印をつけると、右端の点が白丸になり、最大値が「なし」になります。左端に印をつけても、最大は x = 2 のままで変わりません。答えを決めている端を含まないときだけ、なくなります。

4式を書こう：二次関数の最大値・最小値の求め方（3 ステップ）

定義域があるときも、文字が入るときも、手順は同じです。

1. 平方完成する：y = c(x − p)² + q の形にして、軸 x = p と頂点 (p, q) を読む。
2. 図を描く：放物線の向きと軸を描き、定義域を x 軸の上に書きこむ。
3. 候補を比べる：候補は左端、右端、頂点（定義域に入るときだけ）の 3 つ。図を見て、いちばん上といちばん下を選ぶ。

例：y = x² − 6x + 11（0 ≦ x ≦ 4）

軸は x = 3 で、定義域の中にあります。頂点の y = 2 が最小値です。端の値は、x = 0 のとき 11、x = 4 のとき 3 なので、最大値は 11 です。

答え：x = 0 のとき最大値 11、x = 3 のとき最小値 2

定義域がないとき　x がすべての実数をとれるなら、頂点だけを見ます。c > 0 なら頂点で最小で、上にはいくらでも伸びるので最大値はありません。c < 0 なら頂点で最大で、最小値はありません。

この例を開く

a が動くと軸が動く：最小は左・中・右の 3 つの位置で決まる

式の中に文字 a があると、軸の位置が a で変わります。定義域は決まっているのに、軸が左にも右にも動きます。例として、次の関数で考えます。

軸は x = a、頂点は (a, −a² + 3) です。下に凸なので、最小値は「軸にいちばん近い場所」で決まります。軸と定義域の位置関係は次の 3 つです。

図の▼が最小、▲が最大、紫の破線が軸、水色の帯が定義域です。

a < 0（軸が定義域より左）

定義域の中では右上がりなので、左端 x = 0 で最小です。y = 0 − 0 + 3 より、最小値は 3 です。

0 ≦ a ≦ 2（軸が定義域の中）

頂点が定義域に入るので、x = a で最小です。最小値は −a² + 3 です。

a > 2（軸が定義域より右）

定義域の中では右下がりなので、右端 x = 2 で最小です。y = 4 − 4a + 3 より、最小値は −4a + 7 です。

境目の a = 0 と a = 2 は、軸と端が重なる a です。a = 2 では、頂点 (a, −a² + 3) と右端 (2, −4a + 7) が同じ点になります。同じ点の y なので、−a² + 3 に入れても −4a + 7 に入れても −1 です。a = 0 も同じで、どちらの式でも 3 です。だから境目の等号はどちらの行に入れてもよく、計算の確かめにも使えます。

答えは、a の範囲ごとに、値とそのときの x を書きます。

a < 0 のとき　x = 0 で最小値 3
0 ≦ a ≦ 2 のとき　x = a で最小値 −a² + 3
a > 2 のとき　x = 2 で最小値 −4a + 7

a < 0 の例 0 ≦ a ≦ 2 の例 a > 2 の例

最大は軸から遠い端：どちらが遠いかは、軸と真ん中で決まる

放物線は軸について左右対称で、軸から離れるほど y が大きくなります（下に凸のとき）。だから、最大値は軸から遠いほうの端でとります。比べるのは「どちらの端が軸から遠いか」で、それが切り替わるのは、軸が両端からちょうど同じ距離にあるとき、つまり軸が定義域の真ん中にあるときです。

点線が定義域の真ん中です。軸と端を比べるのではなく、軸が真ん中の左か右かで分かれています。

式でも確かめられます。y = c(x − p)² + q で右端と左端の値の差を計算すると、次のようになります。

t − s は正なので、c > 0 なら、差の符号は「真ん中 − 軸」の符号で決まります。軸が真ん中より左なら右端が大きく、右なら左端が大きく、ちょうど真ん中なら等しくなります。

さきほどの例の最大値

y = x² − 2ax + 3（0 ≦ x ≦ 2）の定義域の真ん中は x = 1 です。

a < 1（軸が真ん中より左）

右端 x = 2 のほうが遠いので、最大値は −4a + 7 です。

a = 1（軸が真ん中）

両端 x = 0、2 で同じ値になり、最大値は 3 です。

a > 1（軸が真ん中より右）

左端 x = 0 のほうが遠いので、最大値は 3 です。

a = 1 では軸から両端までの距離が同じなので、y も同じです。−4a + 7 に a = 1 を入れると 3 で、もう一方の 3 とそろいます。ただし x は 0 と 2 の 2 か所なので、x まで答えるときは a = 1 の行を別に書きます。

a = 0.5 を開く a = 1 を開く

x² の係数が負のとき：近い場所で最大、遠い端で最小

c < 0 では、軸に近いほど y が大きくなります。だから、最大値が「軸に近い場所」で 3 通り、最小値が「軸から遠い端」で真ん中で分ける形になります。

例：y = −x² + 2ax + 3 = −(x − a)² + a² + 3（0 ≦ x ≦ 2）

上に凸で動かす

放物線を止めて定義域を動かす：幅が一定のとき、右端だけのとき

放物線は固定で、定義域のほうが動く問題です。考え方は同じで、軸と定義域の位置関係を見ます。

幅が一定で動く：y = x² − 4x + 5（a ≦ x ≦ a + 2）

平方完成すると y = (x − 2)² + 1 で、軸は x = 2 です。定義域の左端は a、右端は a + 2、真ん中は a + 1 です。

右端の値は (a + 2 − 2)² + 1 = a² + 1 と計算します。式を展開する前に、x に a + 2 を入れた形を書くと間違えにくくなります。

定義域を動かす

右端だけ動く：y = x² − 4x + 5（0 ≦ x ≦ a、a > 0）

左端は x = 0 のままで、定義域がのびていきます。

最小値：a が軸 x = 2 に届くかどうか

0 < a < 2 では右端 x = a で a² − 4a + 5。a ≧ 2 では頂点 x = 2 で 1（そのあと a が増えても変わりません）。

最大値：真ん中 a ÷ 2 が軸 x = 2 を超えるかどうか

0 < a < 4 では左端 x = 0 で 5。a = 4 では x = 0、4 で 5。a > 4 では右端 x = a で a² − 4a + 5。

右端を動かす

端を含まない定義域：最大値・最小値が「ない」とき

0 < x ≦ 3 のように等号がない端は、定義域に入りません。その端で最大や最小になるはずのときは、最大値（最小値）はなしと答えます。「いくらでも近づくけれど、その値にはならない」ので、いちばん大きい値が決まらないからです。ただし、下に凸で、軸がちょうど真ん中にあって両端が同じ高さのときは、含まれるほうの端で最大になります。y = x²（−2 < x ≦ 2）なら、x = 2 で最大値 4 です。

例：y = x²（0 < x ≦ 2）では、最大値は x = 2 のときの 4 です。最小値は、x = 0 が定義域に入らないので、なしです。

この例を開く

答えを a のグラフにする：最小値 m(a)

場合分けの答えをまとめて、a の関数とみることができます。最小値を m(a) とすると、次のようになります。

最小値の式は 3 つに分かれていますが、最小値の線は境目でつながって 1 本になります。シミュレーターの下のグラフで、a を動かすと点がこの線の上を進みます。

問題によっては「m(a) がいちばん大きくなる a は？」と聞かれます。この例では、最小値の線のいちばん高いところは a ≦ 0 の 3 です。a > 0 では −a² + 3 も −4a + 7 も 3 より小さくなります。

面積と高さの問題で使う

長方形の面積

周の長さが 20 cm の長方形の、横の長さを x cm とします。縦は (10 − x) cm で、辺の長さは正なので、0 < x < 10 です。面積を y cm² とすると

軸 x = 5 は定義域の中にあるので、x = 5 のとき最大値 25 です。つまり、1 辺 5 cm の正方形で面積が最大になり、25 cm² です。x = 0、10 は定義域に入らないので、最小値はありません。文章題では、この「x のとりうる範囲」を先に書くことが大事です。

投げ上げたボールの高さ（物理とのつながり）

投げた点を原点、y を上向き正とし、空気抵抗を無視して、ボールを真上に 19.6 m/s で投げます。g = 9.8 m/s² とすると、t 秒後の高さ y [m] は次の二次関数です。

上に凸なので、頂点の t = 2 s で最高点になり、高さは 19.6 m です。ボールが投げた点に戻るのは t = 4 s なので、定義域は 0 ≦ t ≦ 4 です。もし最初の 1 秒間（0 ≦ t ≦ 1）だけを見るなら、軸 t = 2 は定義域の外なので、いちばん高いのは右端の t = 1 s で、14.7 m です。

同じ式は、斜方投射の鉛直方向にも出てきます。斜方投射の最高点は、この「二次関数の頂点」です。

5確認問題

文字のない問題から、文字の入る問題へと並べました。a は定数です。まず平方完成して、軸と定義域の図を描きましょう。解説を開く前に、紙に書いてみましょう。

質問と、計算の間違いの例

Q. a に数を入れて解いてもいいですか？

切り替わりを探す手がかりとして、とても役に立ちます。a = −1、1、3 のように数を入れて図を描くと、何が起きるか見えます。ただし答えはすべての a について書くので、最後は a の範囲と式でまとめます。

Q. 下に凸で、頂点が最大になることはありますか？

ありません。頂点は放物線のいちばん低い点で、定義域の中のほかの点はそれより高いからです。定義域に頂点が入っていても、最大値があるときは端でとります。上に凸の最小も同じです。

Q. 最大値の式と最小値の式が同じになるのはなぜですか？

y = x² − 2ax + 3（0 ≦ x ≦ 2）では、−4a + 7 が a < 1 の最大値にも、a > 2 の最小値にも出てきます。どちらも右端 x = 2 の値だからです。同じ端の値でも、a の範囲によって最大になったり最小になったりします。

Q. 定義域が動く問題を、軸が動くと考えてもいいですか？

位置関係だけなら同じです。y = x² − 4x + 5（a ≦ x ≦ a + 2）のグラフと定義域をいっしょに x 軸方向に −a だけ平行移動すると、定義域は 0 ≦ x ≦ 2、軸は x = 2 − a になります。a を増やすと軸が左へ動くので、切り替わりの順番が「軸が動く」モードと逆になります。

Q. x の係数が 2a でないとき、軸はどう読みますか？

平方完成します。たとえば y = x² − 4ax + 1 なら (x − 2a)² − 4a² + 1 で、軸は x = 2a です。軸を式から読むだけで、あとの考え方は同じです。

Q. x² の係数が 1 でないときも同じですか？

考え方は同じです。x² の係数でくくって平方完成し、軸を読みます。y = 2x² − 2x なら 2(x − 1/2)² − 1/2 で、軸は x = 1/2 です。なお、y = c(x − p)² + q の p を変えずに c の大きさだけ変えても、軸は動かないので、最大・最小をとる x は変わりません。「自分で決める」モードで確かめられます。

Q. 「最大値なし」はどんなときですか？

定義域に制限がないとき（x ≧ 0 のように片側へ限りなくのびるときも）の下に凸の放物線と、最大になるはずの端が定義域に含まれないときです。最小値についても同じように考えます。

計算の間違いの例

• −2 でくくったあとの符号（問1）：−2{(x − 1)² − 1} + 1 を −2(x − 1)² − 2 + 1 とすると、x = 3 で −9 になります。正しくは −2(x − 1)² + 3 で、もとの式の値と同じ −5 です。
• x が大きい端を最大と決める（問2）：x = 4 の −1 を最大値としがちですが、x = 1 の値は 2 です。軸 x = 3 から遠いのは x = 1 なので、最大値は 2 です。
• 定義域に入らない端の値を最大値にする（問3）：x = 0 の 1 を最大値とするのも、x = 3 の −2 を最大値とするのも誤りです。x = 0.1 で 0.61 と −2 より大きくなるので、−2 は最大ではありません。最大値はなしです。
• 最小値の境目を頂点の a = 3 で切る（問4）：「a ≧ 3 のとき −a² + 6a − 4」とすると a = 4 で 4 になりますが、x = 0 の値 −4 のほうが小さいです。−a² + 6a − 4 = −4 を解くと a = 6 で、ここが境目です。
• 端の値で「3 倍」を忘れる（問5）：x = 3 を入れた −2a·3 を −2a のままにすると 14 − 2a になります。正しくは 14 − 6a です。a = 2 では、もとの式の x = 3 の値は 2 で、14 − 2a は 10 になります。
• 軸が定義域の外でも −a² + 5 を使う（問6）：a = −2 で 1 になりますが、y = x² + 4x + 5（1 ≦ x ≦ 3）の最小値は x = 1 の 10 です。頂点の式を使えるのは 1 ≦ a ≦ 3 のときだけです。
• 縦の長さを 28 − x とする（問8）：y = x(28 − x) とすると x = 14 で 196 cm² になりますが、横 14 cm、縦 14 cm なら周は 56 cm です。周が 28 cm なので、縦は 14 − x です。

確かめ方　a に具体的な数（たとえば −1）を入れて、もとの式の x に左端、右端、頂点の x（定義域に入るときだけ）を代入し、その中のいちばん小さい値（大きい値）と自分の答えの式を比べましょう。軸と端が重なる a では頂点と端が同じ点なので、2 つの式の値がそろうはずです。シミュレーターの値とも比べられます。