sin・cos・tan（サイン・コサイン・タンジェント。教科書では正弦・余弦・正接）は、角の大きさで決まる比の値で、角度そのものではありません。直角三角形の辺の比としては分かっても、120° のような鈍角になると、なぜ値があるのか、なぜ cos がマイナスになるのかで止まりがちです。このページでは、半円の上の点 P を自分で動かしながら、三角比の意味、鈍角、特別な角、180°−θ と 90°−θ の関係、相互関係、0°〜180° の方程式までを 1 つのシミュレーターで確かめます。
数学IIで学ぶ「三角関数」は、角の範囲を広げて関数として扱う別の単元です。このページは数学Iの「三角比」（0°≦θ≦180°）だけを扱います。
物理で先に出てきた人へ：v0cosθ・v0sinθ の意味を知りたいだけなら、辺の比としての定義と斜方投射とのつながりを読めば、まず使えるようになります。
シミュレーターを動かす前に、直感で答えを選んでください。正解は、操作したあとに開いて確かめます。
予想1 θ = 120° のとき、cosθ の値はどうなる？
正解：イ cosθ は「P の x 座標 ÷ 半径」です。120° の点 P は y 軸より左にあるので x が負になり、cos120° = −1/2 です。sinθ は「y 座標 ÷ 半径」なので、正のままです。
予想2 θ = 30° のまま、半径を 1 から 5 に変えます。sinθ はどうなる？
正解：ウ P の y 座標は 0.50 から 2.50 へ 5 倍になりますが、半径も 5 倍になるので、比 y ÷ r は 1/2 のままです。三角比は長さではなく比なので、三角形の大きさでは変わりません。
予想3 0°≦θ≦180° で、sinθ = 1/2 を満たす θ はいくつある？
正解：イ 半径 1 の半円で、高さが 1/2 の点は左右に 2 つあります。θ = 30° と θ = 150° です。「方程式」モードで水平線を動かすと、交点の数が変わる様子を見られます。
予想4 θ を 90° より小さいほうから 90° に近づけていくと、tanθ はどうなる？
正解：ウ tanθ は OP の傾き y ÷ x です。P が真上に近づくと x が 0 に近づくので、tan88° ≈ 28.64、tan89° ≈ 57.29 と急に大きくなります。90° ちょうどでは x = 0 で割れないので、値はありません。91° まで進むと tan91° ≈ −57.29 で、符号が逆になります。
点 P を指やマウスでドラッグするか、図の下のスライダーと ±1° のボタンで動かします。モードを切り替えると、折り返しや方程式も同じ図で確かめられます。
θ = 30°半径 r = 1P(0.87, 0.50)
| 三角比 | 値 | 符号 |
|---|---|---|
| sinθ | ||
| cosθ | ||
| tanθ |
小数は丸めて表示しています。表示された小数で計算し直すと、最後の桁が少し違うことがあります。
上から順に試して、気づいたことに印をつけていきましょう（印はこの画面の中だけで使い、保存はされません）。
やってみるθ = 30° のまま、半径を 1 → 2 → 5 と切り替える。
見るところP の座標は (0.87, 0.50)、(1.73, 1.00)、(4.33, 2.50) と変わりますが、sin30° = 1/2 はそのままです。半径 5 では、灰色の小さい半円の上にも形の同じ三角形が重なります。角が同じ直角三角形は相似だから、比が同じになります。
やってみるθ を 60° から 120° まで動かす。
見るところ120° の P は (−0.50, 0.87) で、x 座標が負です。だから cos120° = −1/2、tan120° = −√3 は負になります。y 座標は正のままなので、sin120° = √3/2 は正です。
やってみる特別な角のボタンで 0°、90°、180° を順に押す。
見るところ半径 1 の P は (1, 0)、(0, 1)、(−1, 0) です。sin は 0、1、0、cos は 1、0、−1 と座標から読めます。tan は 0、値なし、0 です。
やってみる「tan の補助線」に印をつけ、±1° のボタンで 88° から 92° まで動かす。
見るところOP が急になるほど、OP をのばした線と x = r の線の交点 T が高くなり、図の外へ出ていきます。90° では OP が x = r の線と平行になり、交点はなくなります。91° では、OP を O の反対側へのばした線が下のほうで交わり、tan は負になります。
やってみる「180°−θ」モードで θ を動かす。
見るところP と P′ の高さはいつも同じで、左右の位置だけが逆です。θ = 90° では 2 つの点が重なります。
やってみる「90°−θ」モードで θ を動かし、θ を 90° より大きくしてみる。
見るところθ = 30° では P(0.87, 0.50) と P′(0.50, 0.87) で、x と y が入れ替わります。θ が 90° を超えると、90°−θ が 0° より小さくなり、折り返した点は半円の上に来ません。
やってみる「方程式」モードで k を 0 から 1.2 まで動かす。
見るところk = 0 では 0° と 180° の 2 つ、0 < k < 1 では左右に 2 つ、k = 1 では 90° の 1 つ、k が 1 を超えると交点がなくなり解なしです。k を負にしても、半円より下を通るので解はありません。
やってみる「cosθ = k」と「tanθ = k」に切り替えて、k を動かす。
見るところcosθ = k の垂直線は、−1 ≦ k ≦ 1 なら半円と 1 点で交わり、それ以外では交わりません。tanθ = k の直線は O を通るので、k ≠ 0 なら 1 点で交わり、k = 0 のときだけ x 軸と重なって 0° と 180° の 2 つになります。
θ を 1 つの鋭角にもつ直角三角形で、θ から見た 3 つの辺に名前をつけます。
角 θ が同じ直角三角形は、大きさが違っても相似（同じ形）です。だから、これらの比は三角形の大きさによらず、θ だけで決まります。sin・cos・tan は長さでも角度でもなく、θ を決めると 1 つに決まる比の値で、単位はつきません。たとえば sin30° は 1/2 という数です。
式を変形すると、斜辺の長さと角から残りの辺が求まります。
sin と cos で迷ったら θ をはさむ辺が cos、向かい合う辺が sin です。θ = 0° を考えると、三角形がつぶれて、はさむ辺が斜辺と同じ長さになります。cos0° = 1 なので、はさむ辺のほうが cos だと確かめられます。三角形の向きが変わっても、辺の名前は「θ から見てどこにあるか」で決まります。
三角定規の 2 つの形は、辺の比が決まっています。この 2 つの形から、3 つの角の値をすべて作れます。
| θ | sinθ | cosθ | tanθ |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
たとえば 30° の角から見ると、向かい合う辺が 1、はさむ辺が √3、斜辺が 2 なので、sin30° = 1/2、cos30° = √3/2、tan30° = 1/√3 です。同じ三角形を 60° の角から見ると、向かい合う辺とはさむ辺が入れ替わります。
覚え方 丸暗記するより、三角定規の形を描いて毎回作るほうが確実です。並びで見ると、sin は 30° → 45° → 60° で 1/2 → 1/√2 → √3/2 と増え、cos は同じ値が逆の順に並びます。tan は 1/√3 → 1 → √3 と増えます。なお、1/√2 は √2/2 と書いても同じ値です。
直角三角形の中の鋭角は 90° より小さいので、辺の比のままでは 120° の三角比を考えられません。そこで、定義を点の座標で言い換えます。これを三角比の拡張といいます。半径 r の半円の上で、角 θ の点を P(x, y) とすると
θ が鋭角なら、P から x 軸に垂線を下ろすと直角三角形ができます。y が向かい合う辺、x がはさむ辺、r が斜辺なので、前の節の定義とそのまま同じ値です。つまり、鋭角ではこれまでの値を変えずに、鈍角や 0°、90°、180° にも値を決めたことになります。
半径 1 の単位円では r = 1 なので、cosθ = x、sinθ = y です。点 P の座標がそのまま (cosθ, sinθ) になります。半径 r なら、P の座標は (r cosθ, r sinθ) です。
鈍角では P が y 軸の左にあるので、x は負、y は正です。半径 r はいつも正なので、cosθ = x ÷ r は負、tanθ = y ÷ x も負、sinθ = y ÷ r は正になります。0°≦θ≦180° では y が負にならないので、sinθ が負になることはありません。
図の三角形は、θ そのものを内角にもつ三角形ではなく、座標を読むための道具です。O のところの内角は 180°−θ で、この三角形の辺の長さから、x の大きさと y を読みます。x には負の符号をつけます。
たとえば θ = 120°、r = 2 では、内角が 60° の三角定規の形なので、x の大きさは 1、y は √3 で、P(−1, √3) です。
P の座標は順に (r, 0)、(0, r)、(−r, 0) です。三角形はつぶれますが、座標の定義なら値が決まります。ただし tan90° は値がありません。x = 0 で、y ÷ x の分母が 0 になるからです。
点 P(x, y) を y 軸で折り返した点は (−x, y) で、その角は 180°−θ です。y はそのまま、x だけ符号が逆になるので、次の関係が成り立ちます。
tan の式は θ = 90° では使えません（どちらも値なし）。この関係を使うと、鈍角の三角比を鋭角の三角比に直せます。
0°≦θ≦90° のとき、点 P(x, y) を直線 y = x で折り返した点は (y, x) で、その角は 90°−θ です。x と y が入れ替わるので、sin と cos が入れ替わります。
tan の式は 0° < θ < 90° のときに使います（θ = 0° と 90° では、片方の tan が 0、もう片方が値なしになります）。直角三角形で見ると、直角以外の 2 つの角は θ と 90°−θ で、どちらの角から見るかによって、向かい合う辺とはさむ辺が入れ替わります。これが同じことの別の見方です。
θ が 90° より大きいと 90°−θ は 0° より小さくなり、このページの範囲（0°〜180°）から外れます。シミュレーターでも、折り返した点は半円の上に来ません。
sin・cos・tan は別々の値ではなく、次の 3 つの式で結ばれています。1 つの値が分かれば、残りも計算できます（符号は θ の範囲で決めます）。
tan が出てくる式は、θ = 90° では使えません。どの式も、P の座標から導けます。
P は O からの距離が r の点なので、x² + y² = r² です。両辺を r² で割ります。
x と y の符号から、次の表のように決まります。0° と 180° は x 軸の上、90° は y 軸の上の点です。
| 0° | 鋭角 | 90° | 鈍角 | 180° | |
|---|---|---|---|---|---|
| sinθ | 0 | 正 | 1 | 正 | 0 |
| cosθ | 1 | 正 | 0 | 負 | −1 |
| tanθ | 0 | 正 | 値なし | 負 | 0 |
例として、θ が鈍角で sinθ = 2/3 のときの cosθ と tanθ を求めます。
cosθ は ±√5/3 のどちらかですが、θ が鈍角なので cosθ < 0 です。
もし θ が鋭角なら、cosθ = √5/3、tanθ = 2/√5 です。sinθ の値だけでは鋭角か鈍角か決まらないので、θ の範囲を見て符号を選びます。
単位円で考えると、sinθ は P の高さ、cosθ は P の横の位置、tanθ は OP の傾きです。だから方程式は、線を 1 本引いて、半円との交点を探す問題になります。解の個数は交点の数です。
| 方程式 | 引く線（単位円） | 解の個数 |
|---|---|---|
| sinθ = k | 水平線 y = k | k < 0 または k > 1：なし k = 0：2 つ（0° と 180°） 0 < k < 1：2 つ（足すと 180°） k = 1：1 つ（90°） |
| cosθ = k | 垂直線 x = k | k < −1 または k > 1：なし −1 ≦ k ≦ 1：1 つ |
| tanθ = k | O を通る傾き k の直線 | k = 0：2 つ（0° と 180°） k ≠ 0：1 つ（k > 0 は鋭角、k < 0 は鈍角） |
シミュレーターの特別な角のボタンで、同じ値を確かめられます。
| θ | sinθ | cosθ | tanθ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | 値なし |
| 120° | √3/2 | −1/2 | −√3 |
| 135° | 1/√2 | −1/√2 | −1 |
| 150° | 1/2 | −√3/2 | −1/√3 |
| 180° | 0 | −1 | 0 |
上の行と下の行を見比べると、θ と 180°−θ で sin が同じ、cos と tan は符号が逆になっています。
斜方投射では、初速度を水平成分 v0cosθ と鉛直成分 v0sinθ に分けます。これは、半円の半径 r を初速度の大きさ v0 に読みかえたときの、点 P の座標そのものです。
OP が初速度の矢印、x 座標が水平成分、y 座標が鉛直成分です。座標の向きも同じ（x は右向きが正、y は上向きが正）です。たとえば θ = 30°、r = 5 にすると P は (4.33, 2.50) で、これは初速度 5 m/s、投射角 30° のときの v0x ≈ 4.33 m/s、v0y = 2.50 m/s と同じ数です。
問題によっては、投げる向きを鉛直方向（真上）からの角 φ で与えることがあります。水平からの角は 90°−φ なので、90°−θ の関係から次のようになります。
「水平が cos」と決めつけず、角をどこから測っているかを図で確かめましょう。
投げた点と同じ高さに着地し、空気抵抗がないとき、滞空時間は 2v0y ÷ g なので、水平到達距離（飛距離）R は次の式になります。g は重力加速度で、9.8 m/s² とします。
投射角を θ から 90°−θ に変えると、v0x と v0y が入れ替わります。かけ算の順番が変わるだけなので、積 v0xv0y は同じで、飛距離も同じです。v0 = 5 m/s なら、30° の成分は (4.33, 2.50)、60° の成分は (2.50, 4.33) で、どちらも R = 2 × 4.33 × 2.50 ÷ 9.8 ≈ 2.2 m です。ただし、高く上がるのは v0y が大きい 60° のほうです。
斜方投射のページでは、同じことを sin 2θ を使って説明しています。実際に投げて確かめるには、斜方投射のシミュレーターで初速度 5 m/s の 30° と 60° を試してください。
角は 0°≦θ≦180° の範囲で考えます。答えは、できるだけ分数や √ を使った正確な値で書きましょう。解説を開く前に、紙に式を書いてみましょう。
∠C = 90° の直角三角形 ABC で、BC = 20、CA = 21、AB = 29 である。sin A、cos A、tan A を求めよ。また、sin B を求めよ。
A から見ると、向かい合う辺は BC = 20、はさむ辺は CA = 21、斜辺は AB = 29 です。
B から見ると、向かい合う辺は CA = 21 なので、sin B = 21/29 です。A と B は足して 90° なので、sin B は cos A と同じ値です。
斜辺の長さが 12 cm で、1 つの鋭角が 60° の直角三角形がある。60° の角と向かい合う辺の長さと、60° の角をはさむ辺（斜辺でないほう）の長さを求めよ。
向かい合う辺は 6√3 cm（約 10.4 cm）、はさむ辺は 6 cm です。1 : 2 : √3 の形とも合っています。
次の値を求めよ。(1) sin135°、(2) cos150°、(3) tan120°、(4) cos180°、(5) tan90°
(1) 180°−θ の関係から
(2) 同じように
(3) 同じように
(4) 180° の点は半径 1 なら (−1, 0) なので、cos180° = −1 です。
(5) tan90° は値なしです。x = 0 で割れないからです。
θ は鋭角か鈍角のどちらかとする。次の条件を満たす θ は鋭角か鈍角か答えよ。決まらないときは「決まらない」と答えよ。(1) cosθ = −0.4、(2) tanθ = 0.7、(3) sinθ cosθ < 0、(4) sinθ = 0.6
(1) cosθ < 0 なので鈍角。(2) tanθ > 0 なので鋭角。(3) sinθ > 0 なので cosθ < 0 で、鈍角。
(4) 決まらない。sinθ は鋭角でも鈍角でも正です。実際に sinθ = 0.6 を解くと、θ ≈ 36.9° と θ ≈ 143.1° の 2 つがあります。
次のそれぞれの場合に、残りの三角比を求めよ。(1) θ が鋭角で sinθ = 20/29 のときの cosθ と tanθ、(2) θ が鈍角で sinθ = 20/29 のときの cosθ と tanθ、(3) θ が鈍角で tanθ = −2 のときの cosθ と sinθ
(1) 鋭角なので cosθ > 0 で、cosθ = 21/29、tanθ = (20/29) ÷ (21/29) = 20/21 です。
(2) 鈍角なので cosθ < 0 で、cosθ = −21/29、tanθ = (20/29) ÷ (−21/29) = −20/21 です。
(3) 1 + tan²θ = 1/cos²θ を使います。
鈍角なので cosθ = −1/√5 です。sinθ = tanθ × cosθ = (−2) × (−1/√5) = 2/√5 で、sinθ が正になることも合っています。tanθ = −2 の解は θ ≈ 116.6° です。
0°≦θ≦180° のとき、次の方程式を解け。(1) sinθ = √3/2、(2) cosθ = −1/√2、(3) tanθ = −1/√3、(4) sinθ = 0、(5) sinθ = −1/2
(1) θ = 60°、120°（高さが同じ点が左右に 2 つ）
(2) θ = 135°（cos は 1 つ）
(3) θ = 150°（k < 0 なので鈍角の 1 つ）
(4) θ = 0°、180°（半円の両端）
(5) 解なし（0°≦θ≦180° では sinθ は負になりません）
地面から、同じ初速度の大きさ v0 で、投射角 θ と 90°−θ（0° < θ < 90°）の 2 通りにボールを投げる。空気抵抗を無視し、投げた点と同じ高さに着地するとき、2 通りの水平到達距離が等しいことを、初速度の成分を使って説明せよ。
投射角 θ のときの成分は (v0cosθ, v0sinθ) です。投射角 90°−θ のときは、90°−θ の関係から
となり、水平成分と鉛直成分が入れ替わります。水平到達距離は R = 2v0xv0y ÷ g なので、2 つの成分の積で決まり、入れ替わっても変わりません。よって、2 通りの水平到達距離は等しくなります。
検算のこつ 式を作ったら、θ = 0° と θ = 90° を入れてみましょう。sin0° = 0、cos0° = 1、sin90° = 1、cos90° = 0 だけで、多くの取り違えが見つかります。たとえば sin(90°−θ) = cosθ は、θ = 0° で sin90° = 1、cos0° = 1 となり、合っています。
sin と cos で初速度を 2 つに分ける考え方は、物理の斜方投射ですぐに使えます。半径を v0 に読みかえた点 P を思い出しながら、ボールを投げて確かめてみましょう。
数学では、次に正弦定理と余弦定理を学びます。三角形の辺と角の関係を表す定理で、このページの sin と cos を使って、三角形の辺の長さや角の大きさを求めます。三角形の面積も sin を使って表せるようになります。そのあと、数学IIの三角関数で、角の範囲をさらに広げていきます。