ボールを真上に投げる運動を鉛直投げ上げといいます。上がるときと下がるときで別の運動に見えますが、加速度はずっと同じで、v-t グラフは 1 本のまっすぐな線になります。このページでは、ボールの動きと y-t グラフ、v-t グラフを 1 つの図に並べて動かしながら、最高点、戻ってくる時間、グラフの面積の意味までを整理します。自由落下と鉛直投げ下ろしも、同じ式で扱えます。
シミュレーターを動かす前に、直感で答えを選んでください。正解は、操作したあとに開いて確かめます。
予想1 真上に投げたボールが最高点に来た瞬間、ボールの加速度はどうなっている？
正解：ウ 最高点で 0 になるのは速度です。重力は最高点でもはたらき続けるので、加速度は下向きに 9.8 m/s² のままです。もし加速度も 0 なら、ボールは最高点で止まったままになります。「最高点へ」を押して、矢印と v-t グラフの傾きを見ましょう。
予想2 上向きを正にして、投げ上げの v-t グラフ（横軸が時刻、縦軸が速度）を描きます。どんな形になる？
正解：イ 加速度が一定なので、速度は時刻に対して同じ割合で変わります。1 s ごとに 9.8 m/s ずつ減り、0 を過ぎると負（下向き）になります。放物線になるのは、y-t グラフのほうです。
予想3 初速度を 2 倍にして真上に投げます。最高点の高さはどうなる？
正解：イ 最高点までの時間が 2 倍になり、平均の速さも 2 倍になるので、高さは 4 倍です。v-t グラフの三角形で考えると、高さも底辺も 2 倍になるので、面積が 4 倍になります。初速度 9.8 m/s と 19.6 m/s で比べてみましょう。
再生ボタンを押すか、グラフの上をなぞると、ボールが動きます。
動きの図と y-t グラフは、上向きを正にしているとき、同じ高さの目盛りです。矢印の長さは速度に比例しますが、位置の目盛りとは別の倍率です。加速度の矢印の長さは一定です。
| 時刻 t | 0.00 | s |
|---|---|---|
| 位置 y（投げた点から） | 0.00 | m |
| 地面からの高さ | 0.00 | m |
| 速度 v | 0.00 | m/s |
| 速さ |v| | 0.00 | m/s |
| 加速度 a | −9.8 | m/s² |
| 上昇中の面積 | 0.00 | m |
|---|---|---|
| 下降中の面積 | 0.00 | m |
| 向きを入れて足す ＝ 変位 y | 0.00 | m |
| 大きさを足す ＝ 道のり | 0.00 | m |
小数第 2 位に丸めた値なので、足した結果が 0.01 ずれることがあります。
上から順に試して、気づいたことに印をつけていきましょう（印はこの画面の中だけで使い、保存はされません）。
やってみる「投げ上げ」で「最高点へ」を押す。「−0.1 s」「+0.1 s」で前後も見る。
見るところt = 2.00 s で v = 0.00 m/s です。破線の加速度の矢印は同じ長さのまま下を向いていて、v-t グラフの傾きも変わりません。
やってみるグラフの上を左右になぞる。動きの図のボールと、y-t グラフの点を結ぶ点線を見る。
見るところボールは縦の線の上だけを動きます。それでも y-t グラフが放物線になるのは、横軸が時刻だからです。y-t グラフはボールの通り道（軌道）ではありません。
やってみる「投げ上げ」で「地面へ」を押して、面積の表を見る。途中の時刻でも見る。
見るところt = 4.00 s では、上昇中の面積も下降中の面積も 19.60 m で、変位は 0.00 m、道のりは 39.20 m です。戻ってきたので変位は 0 ですが、動いた距離は 0 ではありません。
やってみる「投げ上げ」で t = 1.00 s と t = 3.00 s を比べる。「ある高さを通る時刻を調べる」を入れて 14.7 m にする。
見るところどちらも y = 14.70 m で、v は +9.80 m/s と −9.80 m/s です。同じ高さを 2 回通り、速さは同じで向きが逆です。○の間隔は、最高点に近いほどせまくなります。
やってみる初速度 9.8 m/s で「線を残す」を押してから、19.6 m/s にして「最高点へ」を押す。
見るところ最高点は 1.00 s、4.90 m から、2.00 s、19.60 m になります。v-t グラフの三角形の、底辺も高さも 2 倍になるからです。
やってみる「投げ上げ」「自由落下」「投げ下ろし」を順に選び、それぞれ「線を残す」を押す。
見るところv-t グラフの線は平行です。違うのは、t = 0 のときの値（初速度）だけです。3 つの運動は、同じ式で v0 が違うだけといえます。
やってみる「投げ上げ」を選び、「最高点へ」を押してから、「下向きが正」に切り替える。
見るところグラフは上下が逆になり、v-t グラフは右上がりの線に、a は +9.8 m/s² になります。最高点の時刻は同じ 2.00 s で、y は −19.60 m（下向きが正なので、上にあると負）です。
投げたあとのボールにはたらく力は、鉛直下向きの重力だけです。だから、上昇中も最高点でも下降中も、加速度はずっと同じです。上向きを正にすると a = −g なので、等加速度直線運動の 3 つの式は次のようになります。
3 つ目は、最初の 2 つから t を消した式です。時刻が出てこない問題で使います。
v が 0 を横切るまでは、時刻 0 から t までの v-t グラフの下は台形で、その面積が変位 y になります。横切ったあとも、軸より下を負として足すと、同じ式になります。
軸より下の部分は負の面積として足します。戻ってくるときに y が減るのは、そのためです。
変位と道のり：変位 y は、はじめの位置からどれだけ離れたかを向きつきで表します。道のりは、実際に動いた距離の合計です。v-t グラフでは、面積を向きを入れて足すと変位、大きさのまま足すと道のりです。
高さは v0 の 2 乗に比例します。初速度が 2 倍なら、高さは 4 倍です。
t = 0 は投げた瞬間です。t = 2v0/g のときの速度は v = −v0 で、速さは初速度と同じ、向きは逆です。
解が 2 つ出ます。負の解は投げる前の時刻なので使いません（h > 0 のとき）。正の解が地面に着く時刻です。
自由落下では、下向きを正にとる説明もよく使います。落ちた距離を y とすると、次のようになります。
上向きを正にした式で v0 = 0 とすると、v = −gt、y = −½gt² です。符号が逆なだけで、同じ運動を表します。大事なのは、最初に正の向きを 1 つ決めて、v0、a、y の符号をそれに合わせることです。下向きを正にして投げ上げを解くなら、はじめの速度が負になり、a = +g です。
公式を運動ごとに覚えなくても大丈夫です。「a = −g の等加速度直線運動」と「どこで何が起きるかの条件（最高点は v = 0、地面は y = −h）」の 2 つから、全部作れます。
どの運動も、投げたあとの加速度は同じです。違うのははじめの速度だけです。
| 自由落下 | 鉛直投げ下ろし | 鉛直投げ上げ | |
|---|---|---|---|
| はじめの速度（上向きが正） | 0 | −v0（大きさ v0、下向き） | +v0 |
| 速度 | v = −gt | v = −v0 − gt | v = v0 − gt |
| 位置 | y = −½gt² | y = −v0t − ½gt² | y = v0t − ½gt² |
| 最高点 | なし | なし | t = v0/g、H = v0²/(2g) |
| v-t グラフの傾き | −g | −g | −g |
この表の v0 は大きさを表します。シミュレーターの初速度は上向きを正とした値なので、投げ下ろしでは負の値を入れます。
水平投射の鉛直方向は自由落下です。斜方投射の鉛直方向は、初速度が v0sinθ の鉛直投げ上げそのものです。たとえば、斜方投射で初速度 29.4 m/s、角度 30° にすると、鉛直方向の初速度は 14.7 m/s で、最高点の時刻は 1.5 s、高さは約 11 m です。このページで初速度 14.7 m/s にしたときと同じになります。ボールを横にも等速で動かすと、軌道が y-t グラフと同じ形の放物線になるのは、横に進む距離が時刻に比例するからです。
下のグラフだけを見て、答えてみましょう。投げ上げたボールの v-t グラフです。方眼は 0.5 s と 4.9 m/s ごとです。面積は、三角形の式で計算します。答えは有効数字 2 桁くらいで大丈夫です。
g = 9.8 m/s²、上向きを正として計算します。答えは有効数字 2 桁を目安にしてください。解説を開く前に、紙に式を書いてみましょう。
高さ 78.4 m のところから、ボールを静かに落とした。地面に着くまでの時間と、着く直前の速さを求めよ。
t > 0 のほうを選びます。速さは 約 39 m/s（下向き）です。高さ 19.6 m（2.0 s）と比べると、高さが 4 倍でも、時間は 2 倍にしかなりません。
高さ 39.2 m のところから、ボールを鉛直下向きに 9.8 m/s で投げた。地面に着くまでの時間と、着く直前の速さを求めよ。
上向きを正にしたので、初速度は −9.8 m/s です。
t = −4 は投げる前の時刻なので使いません。速さは 約 29 m/s です。
地面からボールを鉛直上向きに 24.5 m/s で投げた。最高点に達する時刻、最高点の高さ、地面に戻る時刻を求めよ。
最高点の時刻は 2.5 s です。上りと下りは対称なので、戻る時刻は 2 倍になります。v-t グラフの三角形の面積 ½ × 2.5 × 24.5 でも、同じ高さが出ます。
地面からボールを鉛直上向きに 19.6 m/s で投げた。高さ 14.7 m を通る時刻と、そのときの速度を求めよ。
解が 2 つあるのは、上りと下りで 2 回通るからです。どちらも使います。1.0 s は上向き、3.0 s は下向きです。
地面から 24.5 m の高さにある屋上から、ボールを鉛直上向きに 19.6 m/s で投げた。地面に着くまでの時間と、着く直前の速度を求めよ。
投げた点が原点なので、地面は y = −24.5 m です。
t = −1 は投げる前の時刻なので使いません。問 4 と違い、解を 1 つだけ選びます。速度の負の符号は、下向きという意味です。
ボールを鉛直上向きに 14.7 m/s で投げた。v-t グラフの面積を使って、3.5 s 後の投げた点からの変位と、それまでの道のりを求めよ。ボールはまだ地面に着いていないものとする。
最高点の時刻は 14.7 ÷ 9.8 = 1.5 s です。3.5 s の速度は 14.7 − 9.8 × 3.5 = −19.6 m/s です。
投げた点より 8.6 m 下にいます。y = 14.7 × 3.5 − 4.9 × 3.5² でも、同じ値になります。
セットするボタンでは、地面に着かないように高さを 20 m にしています。
地面からボールを鉛直上向きに 14 m/s で投げた。高さ 7.5 m を通るときの速さを求めよ。
時刻を聞かれていないので、時刻を使わない式を選びます。
速さは 7.0 m/s です。上りでも下りでも同じ速さで通ります。正の解が上り、負の解が下りです。
鉛直方向の動きが分かれば、斜めに投げる運動は、この動きに横の等速運動を足すだけです。水平投射も、鉛直方向は自由落下です。