動かして分かる高校理数

力学的エネルギー保存（りきがくてきエネルギーほぞん）基準面、ばね、摩擦までエネルギーの棒で理解する

物体が斜面をすべり下りると、高さの分のエネルギーが速さの分に入れ替わります。これを式にしたものが力学的エネルギー保存則です。「基準面はどこに置くのか」「いつ使えるのか」「摩擦があるとどうなるのか」でつまずきやすい単元なので、このページでは、基準面と摩擦係数を自分で動かしながら、運動エネルギー K・位置エネルギー U・熱の積み上げ棒がどう変わるかを見ていきます。水平のばねも、同じ見方で扱えます。

このページの約束

1まず予想しよう

シミュレーターを動かす前に、直感で答えを選んでください。正解は、操作したあとに開いて確かめます。

予想1　なめらかな斜面で、位置エネルギーの基準面を床から 1 m 上に変えます。斜面の下での物体の速さはどうなる？

答え合わせ（操作のあとに開こう）

正解：イ　基準面を変えると U の値はどの点でも同じだけずれます。速さを決めるのは U の差なので、速さは変わりません。基準面より下では U は負になりますが、それで問題ありません。基準面の札を上下に動かして確かめましょう。

予想2　なめらかな斜面で、物体の質量を 2 倍にします。斜面の下での速さはどうなる？

答え合わせ（操作のあとに開こう）

正解：ウ　質量が 2 倍になると、U も K も 2 倍になります。棒は全体に長くなりますが、K と U の入れ替わり方は同じで、速さは変わりません。式では、両辺の m を約分できることに当たります。

予想3　同じ粗さの斜面が 2 つあります。どちらも高さは同じで、一方は急、もう一方はゆるやかです。斜面の下での速さは？

答え合わせ（操作のあとに開こう）

正解：ア　なめらかなら、高さだけで決まるので同じです。摩擦があると、熱になる分は道のりで決まります。ゆるやかな斜面は道のりが長く、動摩擦力も大きいので、熱が多くなります。そのぶん K が小さくなります。

予想4　水平のばねを自然長から 0.3 m 縮めました。弾性力による位置エネルギーは、0.3 m 伸ばしたときと比べてどうなる？

答え合わせ（操作のあとに開こう）

正解：ア　U = ½kx² は x の 2 乗なので、伸びでも縮みでも正です。ばねが自然長に戻ろうとして仕事ができる分がたまっている、と考えられます。自然長で最小の 0 になる放物線を、「ばね」の場面で見ましょう。

2運動エネルギーと位置エネルギーを動かして確かめる

力学的エネルギーのシミュレーション図 上に物体の動き、左下に K・U・熱の積み上げ棒、右下にエネルギーのグラフを表示します。グラフの上をなぞると物体の位置を動かせます。斜面の場面では基準面の札を上下に動かせます。

再生ボタンを押すか、グラフの上をなぞると、物体が動きます。

K の棒（青） U の棒（斜線） 熱の棒・部分（点々） K の線（実線） U の線（破線） K + U の線（細い黒） 合計 K + U + 熱（一点鎖線） 基準面（紫の一点鎖線） 重力 mg 垂直抗力 N 動摩擦力 f′

動きの図は、縦横が同じ縮尺です。力の矢印の長さは重力 mg を基準にした比で（動摩擦力の矢印だけ、見やすさのため短くなりすぎないようにしています）、エネルギーの目盛りとは関係ありません。棒の上のはしがいつも合計です。U が負のときは、0 から下に伸びる U を棒の左に出し、K と熱はその値から積みます。

斜面の条件
m
°
kg
m

基準面は床から測り、上向きが正です。数値欄に入力したら Enter で反映します。範囲外の値は範囲内に直します。質量と基準面は、物体を動かしたまま変えられます（運動が変わらないからです）。高さ、角度、摩擦係数を変えると、はじめの位置に戻ります。

再生
0.00 s
表示と記録

条件を 1 つ変えては「結果を残す」を押すと、下の表で比べられます（各場面 6 行まで）。

いまの値

時刻 t0.00s
道のり0.00m
床からの高さ y2.50m
速さ v0.00m/s
運動エネルギー K0.00J
位置エネルギー U49.00J
熱になった分0.00J
力学的エネルギー K + U49.00J
合計 K + U + 熱49.00J

はじめからいままでの仕事

重力がした仕事0.00J
垂直抗力がした仕事0.00J
動摩擦力がした仕事0.00J

3 つの仕事を足すと K になります。小数第 2 位に丸めた値なので、足した結果が 0.01 ずれることがあります。

式に数値を入れると

この条件の代表値

3観察のポイント

上から順に試して、気づいたことに印をつけていきましょう（印はこの画面の中だけで使い、保存はされません）。斜面の場面は、高さ 2.5 m、角度 30°、質量 2.0 kg、なめらか、基準面は床、から始めます。

  1. やってみる「再生」を押す。「斜面の下へ」も押す。

    見るところはじめは U = 49.00 J、K = 0.00 J。斜面の下では U = 0.00 J、K = 49.00 J で、速さは 7.00 m/s です。途中のどこでも、棒の上のはしは合計の線に届いています。床に出ると、K も U も変わりません。

  2. やってみる「斜面の下へ」を押してから「結果を残す」。質量を 4.0 kg にして、また「結果を残す」。

    見るところK は 49.00 J から 98.00 J になりますが、速さは 7.00 m/s のままです。表の「斜面の下の速さ」が同じになります。

  3. やってみる質量 2.0 kg にもどし、「斜面の下へ」を押してから、基準面の札を上下に動かす。基準面を 1.0 m、次に 4.0 m にする。

    見るところ基準面 1.0 m のとき、はじめの U は 29.40 J、斜面の下の U は −19.60 J です。基準面 4.0 m では −29.40 J と −78.40 J です。どちらも差は 49.00 J で、K は 49.00 J、速さは 7.00 m/s のままです。棒は全体が上下にずれるだけで、K の長さは変わりません。

  4. やってみる基準面を 0 にもどし、「粗い」を押す（μ′ = 0.20）。「斜面の下へ」、次に「終わりへ」を押す。

    見るところ斜面の下で K = 32.03 J、熱 = 16.97 J、速さは 5.66 m/s です。床で止まるのは斜面の下から 8.17 m の点で、熱は 49.00 J になります。合計の線は動きません。K + U の黒い線は、斜面と床で傾きが変わります。床のほうが垂直抗力が大きく、動摩擦力も大きいからです。

  5. やってみるμ′ = 0.20 のまま、角度を 30° と 45° にして比べる。「斜面の下へ」で「結果を残す」。

    見るところ高さは同じ 2.5 m でも、斜面の下までの熱は 16.97 J と 9.80 J、速さは 5.66 m/s と 6.26 m/s です。斜面の長さが 5.00 m と 3.54 m で違うからです。止まる位置は床の上で 8.17 m と 10.00 m ですが、はじめの点からの水平の距離は、どちらも 12.50 m になります。

  6. やってみる「動き出さない例」を押す（角度 30°、μ′ = 0.70）。μ′ を 0.58、0.57 と下げる。

    見るところtan 30° ≒ 0.577 なので、μ′ = 0.58 では動き出さず、0.57 ではゆっくり動き出します。動き出さない間は、K も熱も 0.00 J です。静止摩擦は範囲外なので、この判定は静止摩擦係数を μ′ と同じとみなしたものです。

  7. やってみる「水平のばね」を押す（k = 50 N/m、m = 0.5 kg）。変位を +0.30 m と −0.30 m にする。「自然長へ」「反対の端へ」を押す。

    見るところどちらも放す位置の U は 2.25 J です。自然長では U = 0.00 J、K = 2.25 J、速さは 3.00 m/s です。放物線から合計の線までの高さが K です。反対の端は自然長から同じ距離で、また U だけになります。

  8. やってみる変位 0.20 m で「結果を残す」。0.40 m にして、また残す。

    見るところU の最大は 1.00 J から 4.00 J に、自然長での速さは 2.00 m/s から 4.00 m/s になります。

  9. やってみる変位を 0.30 m にもどし、質量を 0.5 kg から 2.0 kg にして「自然長へ」を押す。

    見るところU の最大は 2.25 J で同じですが、速さは 3.00 m/s から 1.50 m/s になります。重力のときは U も m に比例するので m が消えましたが、ばねの U は m によらないので、m は消えません。

4式を書こう：力学的エネルギー保存則

手順① 運動エネルギー：仕事の分だけ変わる

一定の力 F が、動く向きに距離 s だけ仕事をすると、運動方程式 F = ma と等加速度の式 v² − v0² = 2as から、次のようになります。

$$W = F s = m a s = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^{\,2}$$

そこで K = ½mv² を運動エネルギーとよびます。「された仕事の分だけ K が変わる」のが、仕事とエネルギーの関係です。

手順② 重力による位置エネルギー：基準面からの高さで決まる

基準面の高さを y0 として、高さ y の物体の位置エネルギーを次のように決めます。ふつう見る U = mgh の h は、基準面からの高さ y − y0 のことです。基準面より下では、負になります。

$$U = m g (y - y_0)$$

重力がする仕事は、通った道によらず、高さの差だけで決まります。y0 は引き算で消えるので、基準面をどこにとっても同じ結果になります。

$$W_{\text{重力}} = m g (y_A - y_B) = U_A - U_B$$

手順③ 弾性力による位置エネルギー：自然長からの変位で決まる

変位 x のとき、ばねの力の大きさは F = k|x| で、伸びまたは縮みの大きさ |x| に比例します。自然長に戻るまでにばねがする仕事は、F-x グラフの三角形の面積です。

$$U = \frac{1}{2} \times |x| \times k|x| = \frac{1}{2} k x^2$$

x は自然長から測ります。ばねの全体の長さではありません。2 乗なので、伸び（x > 0）でも縮み（x < 0）でも U は正です。U = 0 の位置は自然長に決まっていて、重力の基準面のように動かしません。

手順④ 保存則：仕事をする力が保存力だけのとき

重力や弾性力のように、する仕事が途中の道によらず、始点と終点だけで決まる力を保存力といいます。仕事をする力が保存力だけなら、手順①の仕事を手順②、③の U の差で書き直せます。

$$K_B - K_A = U_A - U_B$$ $$K_A + U_A = K_B + U_B$$

K + U を力学的エネルギーといいます。これが力学的エネルギー保存則です。

使えるかどうかの判断：はたらく力を全部挙げ、「仕事をするか」を見ます。垂直抗力や振り子の糸の張力は、力の向きが動く向きと垂直（cos 90° = 0）なので、はたらいていても仕事をしません。だから、保存則を使う妨げになりません。動摩擦力は動く向きと逆向きで、負の仕事をします。

手順⑤ 立式の手順：始点と終点を決める

斜面：高さ h の点（A）から斜面の下（B）まで

基準面の高さを y0 のまま書いてみます。

$$0 + m g (h - y_0) = \frac{1}{2} m v^2 + m g (0 - y_0)$$ $$\frac{1}{2} m v^2 = m g h$$ $$v = \sqrt{2 g h}$$

y0 も m も消えました。だから、基準面や質量を変えても速さは変わりません。角度も入っていません。

水平のばね：x0 で放し、位置 x を通るとき
$$\frac{1}{2} k x_0^{\,2} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2$$

x = 0（自然長）で K が最大です。こちらの式では m は消えません。

手順⑥ 摩擦があるとき：非保存力の仕事の分だけ変わる

動摩擦力のように、する仕事が道のりで変わる力を非保存力といいます。保存則の代わりに、次の関係を使います。

$$(K_B + U_B) - (K_A + U_A) = W_{\text{非保存力}}$$

動摩擦力の大きさは f′ = μ′N で、道のり ℓ の間の仕事は −f′ℓ です。斜面では N = mg cosθ、床では N = mg です。斜面の長さは h/sinθ なので、斜面の下の速さは次のようになります。

$$\frac{1}{2} m v^2 - m g h = -\mu' m g \cos\theta \times \frac{h}{\sin\theta}$$ $$v = \sqrt{2 g h \left(1 - \frac{\mu'}{\tan\theta}\right)}$$

床の上で止まるまでの距離 d も、同じ考え方で求まります。

$$0 - \frac{1}{2} m v^2 = -\mu' m g d$$ $$d = \frac{h}{\mu'} - \frac{h}{\tan\theta}$$

h/tanθ は斜面の水平の長さなので、止まる点は、はじめの点から水平に h/μ′ のところです。減った力学的エネルギーは、物体と面の熱になります。熱まで入れた全体のエネルギーは保存しています。

動き出す条件：斜面に沿った力を比べると、mg sinθ > μ′mg cosθ、つまり tanθ > μ′ のときに動き続けられます。静止摩擦はこのページの範囲外なので、シミュレーターは静止摩擦係数を μ′ と同じとみなして、tanθ ≦ μ′ なら「動き出さない」としています。

覚えるのは K、U の定義と「始点と終点で K + U を比べる」だけです。そこに「仕事をする非保存力があれば、その仕事を足す」を加えれば、斜面もばねも同じ手順で解けます。

保存則が使える条件と、用語の違い

はたらいている力ごとに、仕事をするかどうかを整理します。

力仕事をするか式での扱い
重力する（高さの差で決まる）保存力。U = mg(y − y0) に入れる
ばねの弾性力する（変位で決まる）保存力。U = ½kx² に入れる
垂直抗力しない（動く向きと垂直）式に出てこない
振り子の糸の張力しない（動く向きと垂直）式に出てこない
動摩擦力する（負の仕事。道のりで決まる）非保存力。保存則は使えず、仕事の分を足す
空気抵抗する（負の仕事）非保存力。このページでは無視している

投げ上げと斜方投射も、エネルギーで見られる

投げたボールにはたらく力は重力だけなので、空気抵抗を無視すれば保存則が使えます。斜方投射の「着地の速さ」が投げたときの速さと同じになるのは、同じ高さなら U が同じで、K も同じになるからです。たとえば初速度 14 m/s なら、角度によらず 14 m/s で着地します。

鉛直投げ上げの最高点も、K が全部 U に変わると考えれば、時刻を使わずに求まります。初速度 14 m/s なら ½m × 14² = m × 9.8 × H から H = 10 m です。高さ 24.5 m から 19.6 m/s で上に投げたときの着地の速さも、√(19.6² + 2 × 9.8 × 24.5) = 29.4 m/s と、エネルギーからすぐに出せます。どれも向きは分かりません。向きや時刻が必要なら、等加速度の式を使います。

斜方投射で確かめる（14 m/s、45°） 投げ上げで確かめる（14 m/s）

用語

運動エネルギー
K = ½mv²。速さで決まり、負になりません。単位は J です。
位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）
保存力に対して決める U。重力では基準面、ばねでは自然長が U = 0 です。
力学的エネルギー
K + U のこと。熱は含みません。
保存力と非保存力
する仕事が始点と終点だけで決まる力が保存力（重力、弾性力）、途中の道のりで変わる力が非保存力（動摩擦力、空気抵抗）です。
エネルギー保存則と力学的エネルギー保存則
熱なども入れた全体のエネルギーはいつも保存します。K + U だけが保存するのは、仕事をする力が保存力だけのときです。

エネルギーの収支を立てる練習

はじめのエネルギー、熱になる分、終わりの速さの順に、紙に式を書いて答えてみましょう。g = 9.8 m/s²、答えは有効数字 2 桁くらいで大丈夫です。

5確認問題

g = 9.8 m/s²、物体は静かに放すものとします。答えは有効数字 2 桁を目安にしてください。解説を開く前に、紙に式を書いてみましょう。

問1　なめらかな斜面

質量 1.5 kg の物体を、なめらかな斜面の、床から高さ 3.6 m の点で放した。床を基準面として、はじめの位置エネルギーと、斜面の下での速さを求めよ。

解説を見る
$$U = 1.5\times 9.8\times 3.6 = 52.92 \approx 53\ \text{J}$$ $$\frac{1}{2} m v^2 = m g h$$ $$v = \sqrt{2\times 9.8\times 3.6}$$ $$= \sqrt{70.56} = 8.4\ \text{m/s}$$

はじめの U は 約 53 J、速さは 8.4 m/s です。速さの式に質量は入りません。

問2　基準面を上にとる

質量 2.0 kg の物体を、なめらかな斜面の、床から高さ 2.5 m の点で放した。基準面を床から 4.0 m 上にとる。はじめの位置エネルギー、斜面の下での位置エネルギー、斜面の下での速さを求めよ。

解説を見る
$$U_A = 2.0\times 9.8\times (2.5 - 4.0) = -29.4\ \text{J}$$ $$U_B = 2.0\times 9.8\times (0 - 4.0) = -78.4\ \text{J}$$ $$0 + (-29.4) = \frac{1}{2}\times 2.0\times v^2 + (-78.4)$$ $$v^2 = 49 \;\Rightarrow\; v = 7.0\ \text{m/s}$$

どちらの U も負ですが、差は 49 J で、床を基準にしたときと同じです。速さも同じ 7.0 m/s になります。

問3　ばねを伸ばして放す

なめらかな水平面で、ばね定数 200 N/m のばねにつないだ質量 0.50 kg の物体を、自然長から 0.20 m 伸ばして放した。はじめの弾性力による位置エネルギー、自然長を通るときの速さ、伸びが 0.10 m のときの速さを求めよ。

解説を見る
$$U = \frac{1}{2}\times 200\times 0.20^2 = 4.0\ \text{J}$$ $$\frac{1}{2}\times 0.50\times v^2 = 4.0 \;\Rightarrow\; v = 4.0\ \text{m/s}$$ $$\frac{1}{2}\times 0.50\times v^2 + \frac{1}{2}\times 200\times 0.10^2 = 4.0$$ $$v^2 = 12 \;\Rightarrow\; v \approx 3.5\ \text{m/s}$$

U は 4.0 J、自然長で 4.0 m/s、伸び 0.10 m で 約 3.5 m/s です。伸びが半分なので、U は 4 分の 1 の 1.0 J です。速さは半分ではありません。

問4　ばねを縮めて放す

なめらかな水平面で、ばね定数 80 N/m のばねにつないだ質量 0.80 kg の物体を、自然長から 0.25 m 縮めて放した。自然長を通るときの速さと、自然長から 0.15 m 伸びた位置を通るときの速さを求めよ。

解説を見る
$$\frac{1}{2}\times 80\times 0.25^2 = 2.5\ \text{J}$$ $$\frac{1}{2}\times 0.80\times v^2 = 2.5 \;\Rightarrow\; v = 2.5\ \text{m/s}$$ $$\frac{1}{2}\times 0.80\times v^2 + \frac{1}{2}\times 80\times 0.15^2 = 2.5$$ $$0.40\, v^2 = 1.6 \;\Rightarrow\; v = 2.0\ \text{m/s}$$

自然長で 2.5 m/s、伸び 0.15 m で 2.0 m/s です。縮みでも U は正で、符号を気にせず x² を計算します。

セットするボタンでは、0.15 m 伸びた位置を、放したあと最初に通るときの図を出します。

問5　粗い斜面と床

質量 2.0 kg の物体を、角度 45°、動摩擦係数 0.20 の粗い斜面の、床から高さ 2.5 m の点で放した。床も同じ動摩擦係数で、斜面となめらかにつながっている。斜面の下までに熱になるエネルギー、斜面の下での速さ、床の上で止まるまでの距離を求めよ。

解説を見る

斜面の長さは 2.5 ÷ sin 45°、動摩擦力は 0.20 × 2.0 × 9.8 × cos 45° です。cos 45° ÷ sin 45° = 1 なので、熱は次のようになります。

$$Q = 0.20\times 2.0\times 9.8\times 2.5 = 9.8\ \text{J}$$ $$\frac{1}{2}\times 2.0\times v^2 = 49 - 9.8 = 39.2$$ $$v = \sqrt{39.2} \approx 6.3\ \text{m/s}$$ $$0.20\times 2.0\times 9.8\times d = 39.2$$ $$d = 10\ \text{m}$$

熱は 9.8 J、速さは 約 6.3 m/s、止まるまでの距離は 10 m です。止まるまでの熱は、合わせて 49 J です。

問6　同じ高さで角度が違う斜面

動摩擦係数 0.25 の粗い斜面で、床から高さ 4.0 m の点から物体を放す。角度が 45° のときと 30° のときで、斜面の下での速さをそれぞれ求めよ。

解説を見る

手順⑥の式を使います。質量は約分されるので、問題に書いてなくても解けます。

$$v^2 = 2\times 9.8\times 4.0\times \left(1 - \frac{0.25}{\tan\theta}\right)$$ $$v_{45} = \sqrt{78.4\times 0.750} \approx 7.7\ \text{m/s}$$ $$v_{30} = \sqrt{78.4\times 0.567} \approx 6.7\ \text{m/s}$$

45° で 約 7.7 m/s、30° で 約 6.7 m/s です。斜面の長さは約 5.7 m と 8.0 m で、ゆるやかなほうが長く、熱が多くなります。tan 45° = 1、tan 30° ≒ 0.577 はどちらも 0.25 より大きいので、どちらも動き出します。

セットするボタンでは、質量を 1.0 kg にしています。

問7　保存則が使えるのはどれ？

次の (a)〜(c) のうち、力学的エネルギー保存則をそのまま使えるものを選べ。また、(a) で、おもりを最下点より 0.90 m 高い位置で放したとき、最下点での速さを求めよ。空気抵抗は無視する。

  • (a) 天井に固定した糸につるしたおもりの振り子
  • (b) 粗い水平面の上で、ばねにつないで放した物体
  • (c) 粗い斜面をすべり下りる物体
解説を見る

使えるのは (a) だけです。糸の張力は動く向きと垂直なので仕事をせず、仕事をするのは重力だけです。(b) と (c) では動摩擦力が負の仕事をします。

$$\frac{1}{2} m v^2 = m g \times 0.90$$ $$v = \sqrt{2\times 9.8\times 0.90}$$ $$= \sqrt{17.64} = 4.2\ \text{m/s}$$

速さは 4.2 m/s です。高さの差が同じなら、なめらかな斜面と同じ結果になります。糸の長さや質量は、速さの計算には要りません。

力学的エネルギー保存則の質問と答え

Q. 基準面はどこにとってもよいですか？ 答えは変わりませんか？
どこにとっても、速さなどの答えは変わりません。U の値はずれますが、始点と終点で同じだけずれるので、差は同じだからです。計算が楽になる位置（ふつうは一番低い点）を選び、1 つの式の中では変えないことが大事です。
Q. 位置エネルギーが負になってもよいですか？
かまいません。基準面より下にあることを表しているだけで、誤りではありません。運動エネルギーは負になりませんが、位置エネルギーは基準面の決め方で負になります。
Q. 垂直抗力や糸の張力があっても保存則を使えますか？
その力が動く向きと垂直なら、使えます。固定された面の垂直抗力や、振り子の糸の張力がそうです。条件は「力がはたらいていないこと」ではなく、「仕事をする力が保存力だけであること」です。糸で物体を引いて動かす場合のように、張力が動く向きと垂直でないときは、張力が仕事をするので、そのままでは使えません。
Q. ばねの位置エネルギーは、縮んでいても正ですか？
正です。U = ½kx² で x を 2 乗するからです。x はばね全体の長さではなく、自然長からの伸びまたは縮みです。
Q. 摩擦があるとき、失われたエネルギーはどこへ行きますか？
主に物体と面の熱になります。力学的エネルギー K + U は減りますが、熱まで入れた全体のエネルギーは保存しています。シミュレーターの棒の上のはしが動かないのは、そのためです。
Q. 力学的エネルギー保存則と、仕事とエネルギーの関係は何が違いますか？
仕事とエネルギーの関係は「された仕事の分だけ K が変わる」で、どんな力でも成り立ちます。そのうち保存力の仕事を U の差に書き直し、ほかに仕事をする力がないときの形が保存則です。摩擦があるときの式は、その間の形です。
Q. 保存則の式で質量が約分できるのはなぜですか？
重力の U と K が、どちらも m に比例するからです。ばねの U は m を含まないので、ばねの問題では約分できません。ばねの場面で質量を変えると、速さが変わるのが見えます。
Q. 同じ斜面なのに、途中で止まる問題と動き出さない問題があるのはなぜですか？
動き出すかは斜面に沿った力の比較（tanθ と摩擦係数）で決まります。動き出したあとに止まるかどうかは、エネルギーが熱で使い切られるかで決まります。斜面で静かに放した物体が動き出せば、斜面の途中では止まらず、止まるとしたら床の上です。動き出す判定には本来は静止摩擦係数を使いますが、このページでは範囲外として μ′ と同じとみなしています。

次のステップ

エネルギーで見られるようになったら、ほかの運動でも確かめてみましょう。斜方投射の「着地の速さ」は、保存則の使える例です。

斜方投射の「着地の速さ」を確かめる

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