微分係数と導関数（びぶんけいすう・どうかんすう）2 点を近づけて、直線が接線に変わる様子を動かして見る

1まず予想しよう：2 点を近づけると、傾きはどうなる？

シミュレーターを動かす前に、直感で答えを選んでください。正解は、操作したあとに開いて確かめます。

3観察のポイント：直線はどこへ近づく？

1. やってみる y = x²、A(1, 1) で、「h を半分に」を何度か押す。

   見るところ 平均変化率は 3 → 2.5 → 2.25 → 2.125 と変わり、微分係数 2 との差は 1 → 0.5 → 0.25 → 0.125 と、ちょうど半分ずつになります。平均変化率が 2 + h の形だからです。

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2. やってみる 「h = 0 にする」を押す。次に h を −0.001 と 0.001 にして比べる。

   見るところ h = 0 では直線 AB が消えます。傾きを求める式が 0 ÷ 0 になるからです。一方、h が 0 でなければ、どんなに小さくても線は引けて、傾きは左右どちらからも 2 に近づきます。

   h = 0.001 にする

3. やってみる 「h に合わせて拡大する」にして「近づける」を押す。

   見るところ 図が拡大されていくと、曲線がまっすぐに見えてきて、直線 AB と接線に重なります。微分係数は、曲線をうんと拡大して直線に見えるときの、その直線の傾きとも言えます。

   y = x³ − 3x で試す

4. やってみる y = |x|、a = 0 で、拡大しながら h の符号を変える。

   見るところ どれだけ拡大しても折れ目は折れ目のままです。右から近づけた傾きは 1、左から近づけた傾きは −1 で、そろいません。だから x = 0 の微分係数はなく、接線も引けません。

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5. やってみる 「導関数を描く」で、y = x³ − 3x を「左から順に動かす」。

   見るところ 接線の傾きが下のグラフの点の高さになり、跡が放物線 y = 3x² − 3 を描きます。接線が水平になる x = −1、1 で、下の点は x 軸上にきます（値は 0）。曲線が右上がりの範囲では下のグラフは正、右下がりの範囲では負です。

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6. やってみる 「接線の式」の「通る点を指定」で、y = x² の P を放物線の内側と外側に動かす。

   見るところ 放物線の外側（下側）の点からは接線が 2 本、放物線の上の点からは 1 本、内側（上側）の点からは 0 本です。y = x³ − 3x では 1〜3 本に変わります。

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4式を書こう：平均変化率と微分係数の定義

図で見たことを式にします。x が a から a + h まで変わるときの平均変化率は、次の式です。

分母の h は、B の x 座標から A の x 座標を引いた (a + h) − a です。h を 0 に近づけた値が、x = a における微分係数です。

lim は「極限」を表します。h を 0 とは違う値にしたまま 0 に近づけるとき、式の値が近づく先のことです。B の x 座標を b とおくと、次の形にも書けます。

定義で計算する 3 ステップ

例として、f(x) = x² + 3x の x = 2 における微分係数を求めます。

1. f(a + h) − f(a) を計算する。f(2 + h) − f(2) を展開すると、次の式になります。
   $$\{(2+h)^2 + 3(2+h)\} - (2^2 + 3 \cdot 2) = 7h + h^2$$
2. h で割る。h は 0 ではないので、割ることができます。
   $$\frac{7h + h^2}{h} = 7 + h$$
3. h を 0 に近づける。7 + h は 7 に近づくので、f′(2) = 7 です。

なぜ h = 0 を入れてよいように見えるのか　2 の時点で分母の h を約分して、式は 7 + h になっています。この式なら h を 0 に近づけた先が 7 と分かります。約分する前の式に h = 0 を入れると 0 ÷ 0 で、何も分かりません。

y = f(x) のグラフの点 A での接線は、A を通り、傾きが f′(a) の直線です。だから「微分係数 = 接線の傾き」です。

この例を動かす

導関数：微分係数を x の関数として見る

上の計算は、a を決めるたびにやり直しです。そこで、a を文字のまま、x として計算しておきます。x の値ごとに微分係数が 1 つ決まるので、これは x の関数です。これを f(x) の導関数といい、f′(x) と書きます。導関数を求めることを微分するといいます。

y = f(x) の導関数は、y′ や dy/dx とも書きます。

定義で導関数を求める：x³

(x + h)³ を展開して、同じ 3 ステップで計算します。

同じように計算すると、x² の導関数は 2x、x の導関数は 1、定数の導関数は 0 です。ここから次の公式が読み取れます（n は正の整数。この単元で使うのは n = 1、2、3 です）。

定数倍と和・差は、項ごとに微分できます（k、l は定数）。

公式で微分する例

定数の −7 は、微分すると 0 になって消えます。定数を足しても、グラフが上下に動くだけで、接線の傾きは変わらないからです。シミュレーターで定数のスライダーを動かすと確かめられます。

かっこのある式は、展開してから微分します。(x + 2)(x − 3) = x² − x − 6 なので、導関数は 2x − 1 です。

この式を動かす

接線の方程式の求め方

傾きが m で、点 (p, q) を通る直線は y − q = m(x − p) です。接線では、傾きが f′(a)、通る点が接点 (a, f(a)) なので、次の式になります。

問題の聞かれ方は 3 つあります。どれも、接点の x 座標が分かれば、この式に入れるだけです。

① 接点が分かっているとき：y = x³ − x² の x = 2 における接線

y′ = 3x² − 2x より、傾きは f′(2) = 8 です。接点の y 座標は f(2) = 4 なので、次のようになります。

この例を動かす

② 傾きが分かっているとき：y = x² − 3x + 1 の傾き 1 の接線

接点の x 座標は、f′(x) = 1 の解です。2x − 3 = 1 より x = 2 で、接点は (2, −1) です。

この例を動かす

③ 接線が通る点が分かっているとき：y = x² に P(1, −3) から引いた接線

P は曲線の上にないので、接点ではありません。接点が分からないので、x 座標を t とおきます。接点 (t, t²) での傾きは 2t なので、接線は次の式です。

この線が P(1, −3) を通るので、−3 = 2t − t²、つまり t² − 2t − 3 = 0 で、t = 3、−1 です。接線は 2 本あります。

この例を動かす

接線は「1 点だけで交わる線」ではない

円や放物線の接線は、接点のほかに共有点がありません。そのため、接線を「1 点だけで交わる線」と考えがちです。三次関数では、これは成り立ちません。

y = x³ − 3x の x = 1 における接線は y = −2 です。曲線と接線の式を連立すると、次のようになります。

x = 1 が重解になるのが「接している」しるしで、もう 1 つの解 x = −2 が、接線がふたたび曲線と交わる場所です。逆に、1 点だけで交わっていても接線とは限りません。直線 y = 3x + 18 は y = x³ と x = 3 の 1 点だけで交わりますが、x = 3 の接線の傾きは 27 なので、接線ではありません。

接線かどうかは、共有点の数ではなく、点 (a, f(a)) を通り、傾きが f′(a) と等しいかで決まります。y = x³ の x = 0 の接線 y = 0 のように、接点で曲線を横切る接線もあります（連立すると x³ = 0 で、x = 0 は三重解です）。

y = x³ の x = 0 を見る

速度とのつながり：平均の速度と瞬間の速度

時刻 t（s）での高さが y（m）の物体では、平均変化率は平均の速度、微分係数はその瞬間の速度です。「瞬間の速度」は、時間の幅を短くしていった極限として意味が決まります。

小球を初速度 19.6 m/s で真上に投げます。空気抵抗を考えず、g = 9.8 m/s² とすると、高さは y = 19.6t − 4.9t²（m）です。t で微分すると、速度が出ます。

物理で学ぶ v = v₀ − gt と同じ式です。v = 0 になる t = 2 s が最高点です。詳しくは鉛直投げ上げのページで動かして確かめられます。

発展：微分係数がない点（y = |x| の x = 0）

多項式では、どの点でも微分係数があります。一方、y = |x| の x = 0 では、平均変化率は次のようになります。

右から近づけると 1、左から近づけると −1 で、1 つの値に近づきません。このとき、x = 0 の微分係数はないといいます。詳しくは数学IIIの「微分可能性」で学びます。数学IIの問題で扱う多項式では、気にしなくてかまいません。

5確認問題

紙に途中式を書いてから開きましょう。解説のボタンを押すと、シミュレーターで確かめられます。

質問と、計算の間違いの例

Q. 微分係数と導関数は何が違うのですか？

微分係数はある点での 1 つの数、導関数は x を入れると微分係数を返す関数です。f′(x) の x に a を入れたものが f′(a) です。y = x² なら、導関数は 2x、x = 3 の微分係数は 6 です。

Q. 分母が 0 になるのに、どうして計算できるのですか？

分母の h は 0 ではありません。「0 ではない h を、0 に近づける」という計算です。h で約分した式を作ってから、h が 0 に近づいたときの値を見ます。

Q. 公式があるのに、定義の計算は必要ですか？

多項式の微分は公式で済みます。定義は、公式がなぜ成り立つかの理由で、「定義にしたがって求めよ」という問題でも使います。数学IIIでは、公式のない関数の微分を定義から考える場面もあります。

Q. 平均変化率の分母は、どちらから引いてもいいのですか？

分子と分母で引く順番をそろえれば、同じ値になります。{f(a) − f(b)} ÷ (a − b) も {f(b) − f(a)} ÷ (b − a) も同じです。そろえないと符号が逆になります。

Q. 接線の式は y = mx + n の形で答えるのですか？

ふつうは整理して答えます。y − f(a) = f′(a)(x − a) は途中の式です。

Q. 「接点での接線」と「その点を通る接線」は同じですか？

違います。「点 (2, 2) における接線」では (2, 2) が接点です。「点 (2, 2) を通る接線」では、接点は別の場所かもしれません。曲線の上の点でも、そこを通る接線が 2 本以上あることがあります。シミュレーターの「通る点を指定」で、y = x³ − 3x、P(2, 2) を試してみましょう。

Q. 図の接線が、数字の傾きより緩やかに見えます。

図の方眼は、x の 1 目盛りと y の 1 目盛りの長さが違うことがあります。傾きは見た目の角度ではなく、目盛りの数字で読みます。

計算の間違いの例

• (2 + h)² の真ん中の項を落とす（問2）：(2 + h)² を 4 + h² とすると、f(2 + h) = 6 + 5h − h² になり、f′(2) = 5 が出ます。正しくは 4 + 4h + h² で、f′(2) = 1 です。
• 値を入れてから微分する（問2）：f(2) = 6 を先に計算して微分すると、定数なので 0 になります。先に x のまま微分して f′(x) = −2x + 5 とし、そのあとで x = 2 を入れます。
• 定数項を残す（問4）：y = 2x³ − 3x² + 5x − 7 の導関数に −7 を残して 6x² − 6x − 2 とするのは誤りです。定数の導関数は 0 です。x = 0 で比べると、正しい値は 5 です。
• かっこのまま項ごとに微分する（問4）：y = (x + 2)(x − 3) を、それぞれ微分して 1 · 1 = 1 とするのは誤りです。展開すると y′ = 2x − 1 で、x = 2 での傾きは 3 です。
• 傾きに x を残す（問5）：y − 4 = (3x² − 2x)(x − 2) は直線の式ではありません。傾きは f′(2) = 8 という数です。
• 通る点で傾きを計算する（問7）：x = 2 の傾き 2 を使って y + 2 = 2(x − 2) とすると、y = 2x − 6 になります。これを曲線と連立すると x² − 4x + 8 = 0 で実数解がなく、接していません。(2, −2) は接点ではないので、接点を t とおきます。
• 平均の速度の分母を忘れる（問8）：高さの差 19.6 m をそのまま答えるのは誤りです。経過時間 2 s で割って 9.8 m/s です。単位が m/s になるかを確かめましょう。

確かめ方　小さな h（たとえば 0.01）を選んで {f(a + h) − f(a)} ÷ h を計算し、自分の f′(a) に近いかを比べましょう。接線の式は、接点の座標を入れて成り立つか、傾きが f′(a) と同じかを確かめます。